浅析线切割极坐标加工系统之运动形式
电火花线切割极坐标加工系统是指实现复杂曲面加工的一类电火花数控线切割加工系统，这类加工系统往往是为了解决某一种复杂曲面的电火花线切割加工问题而研制的。因此，很有必要全面、系统地分析此类加工系统切割加工复杂曲面的运动形式和运动规律，并建立极坐标加工系统加工各类复杂曲面零件对应的数学模型。从而为利用计算机仿真技术探索研究极坐标加工系统的运动规律和工艺范围打下理论基础。同时也为研制数控电火花线切割极坐标加工CAD、CAPP、CAM系统提供理论依据。
一.极坐标加工系统的组成和运动形式
极坐标加工系统由一台数控电火花快走丝线切割机床和数控回转台附件组成，如图1所示。
图1极坐标加工系统简图
图中，
表示电极丝沿X轴的正反两个方向的切割运动；
表示电极丝沿X轴正向的切割运动；
表示电极丝沿X轴反向的切割运动；
表示电极丝绕X轴顺时针和逆时针两个方向的转动；
表示电极丝绕X轴顺时针方向的转动；
表示电极丝绕X轴逆时针方向的转动。
系统结构特点是两轴数控联动，一移一转，可以实现斜度切割，能加工诸如凸轮、螺旋面、双曲面等各类空间直纹曲面零件。系统的其它运动参数如图2所示。图中，E为电极丝与工件轴线的距离，又称偏心距；θ表示电极丝与工件轴线的夹角；α表示电极丝切割加工方向与工件轴线在工作台面上的投影线的夹角。当E表示变量时，α的大小可以通过E的变化量表达出来。
图2极坐标加工系统参数图
极坐标加工系统的基本加工参数为和，当被加工工件轴线与Z轴平行时，即变成了绕Z轴的转动。如果再考虑到E、θ和α；可以得出极坐标加工系统的运动形式的通式为
如果展开，极坐标加工系统相对独立的运动形式共有
等48种。
极坐标加工系统在实际加工零件的过程中，其运动形式往往是两种或两种以上相对独立的运动形式复合而成的。但是，不管加工什么零件，极坐标加工系统的运动形式都可以用通式表达。
二.极坐标加工系统数学模型的建立
1，一般通用数学模型的建立
选择工件旋转轴线为X轴，工件进给方向在X轴投影向量为X轴负向。设电极丝与工件轴线的公垂线与工件轴线交于O点，与电极丝交于O′点，将O点作为原点，OO′所在直线作为Y轴，Z轴方向与电极丝上方向成锐角。由此建立OXYZ坐标系。在此坐标系中，工件位置保持不变，电极丝相对于工件的一切位置变化都体现为电极丝的变化，如图3所示。
图3极坐标加工系统空间坐标系
这里选择的典型运动形式为++E+θ+α。此运动形式包括了极坐标加工系统的所有运动参数，有一定的通用性。
（1）坐标系的复合及符号说明
E、θ、α的意义如前所述，并设：（1）电极丝切割移动速度为V；（2）工件旋转的角速度为ω；（3）电极丝绕X轴的旋转角为φ。
将OXYZ坐标系中的YOZ坐标面旋转φ角后构成O1X1Y1Z1坐标系（见图4），相互关系为
上式的另一种表达式为
图4极坐标加工系统坐标旋转图
将坐标系O1X1Y1Z1的原点O1平移至Ot（Vtcosα.sinθ，-Vtsinα，Vtcosα.cosθ）
得到OtXtYtZt坐标系（图5），相互关系为
图5极坐标加工系统坐标系平移图
（2）电极丝运动至t时刻数学模型的建立
工件以速度V进给并以角速度ω绕工件轴线旋转至t时刻，在OXYZ坐标系中相当于电极丝绕工件轴线旋转，但相对于OtXtYtZt坐标系电极丝位置保持不变，变方程为
将式（3）代入式（4）得到电极丝在O1X1Y1Z1中的方程为
将式（2）代入式（5）得到电极丝在OXYZ坐标系中的方程为
式中
式（6）就是极坐标加工系统下的一般（通用）数学模型。
2，几种典型运动形式下的数学模型
在式（6）中，调整参数E、θ和α等组合形式，可以获得多种数学模型。这里只给出一些典型运动形式下的数学模型。
（1） 
对应的数学模型
此时，
，由式（6）得对应的数学模型为
上式为直螺旋面方程。
（2） 
对应的数学模型
此时，直纹面母线方程式（6）变成
对应的数学模型：
式（8）为一个中轴半径为E的螺旋面方程。
（3） 
对应的数学模型
在式（6）中取E=0,α=0，得
对应的数学模型为
也可表达为
，这是斜螺旋面方程。当V=0时，上式又变成了圆锥面方程。
（4） 
对应的数学模型
在式（6）中，取
，并适当处理，得出+α运动形式下对应的数学模型为
这是不规则螺旋面方程
（5） 
对应的数学模型
在式（6）中取θ=π/2并适当处理，得出+α+E形式下对应的数学模型为
这也是不规则螺旋面方程。
三，结论
在系统分析极坐标加工系统运动规律的基础上建立的一般通用数学模型，包含了极坐标加工系统的所有运动参数，可以反映极坐标加工系统的普遍运动规律。这些数学模型既可以作为极坐标加工系统计算机图形仿真的数学模型，又可以为设计电火花线切割极坐标加工CAD、CAPP、CAM系统提供数学依据。
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